向量公式大全简介
向量是数学中一种重要的概念，广泛应用于物理、工程、计算机科学等领域。它不仅能够表示方向和大小，还为解决复杂问题提供了简洁而强大的工具。本文将简要介绍向量的核心公式及其应用。
首先，向量的基本定义可以用坐标形式表示：若在二维空间中，一个向量可以写成$\vec{v}=(x, y)$；在三维空间中，则为$\vec{v}=(x, y, z)$。向量的加法遵循平行四边形法则，即$\vec{u}+\vec{v}=(x_1+x_2, y_1+y_2)$（二维）或$(x_1+x_2, y_1+y_2, z_1+z_2)$（三维）。减法则类似，如$\vec{u}-\vec{v}=(x_1-x_2, y_1-y_2)$。
模长公式用于计算向量的长度，二维为$|\vec{v}|=\sqrt{x^2+y^2}$，三维为$|\vec{v}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$。单位向量通过归一化得到，即$\hat{v}=\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}$。
点积是向量间的重要运算，其公式为$\vec{u}\cdot\vec{v}=x_1x_2+y_1y_2$（二维）或$x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2$（三维）。点积的结果可用来判断两向量是否垂直（点积为零），或者求夹角的余弦值$\cos\theta=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}$。
叉积仅适用于三维空间，结果是一个新向量，其方向符合右手定则，大小为$|\vec{u}\times\vec{v}|=|\vec{u}||\vec{v}|\sin\theta$。叉积常用于求解平面法向量或面积计算。
此外，还有向量投影公式$\text{Proj}_{\vec{u}}\vec{v}=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\vec{u}\cdot\vec{u}}\vec{u}$，以及拉格朗日恒等式等扩展内容。这些公式构成了向量数学的基础框架，帮助我们高效地分析和解决问题。掌握它们，不仅能提升解题能力，还能为更深入的学习打下坚实基础。
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